Nếu bạn hay nhầm lần hoặc chưa biết cách vận dụng các công thức cấp số nhân vào giải các bài tập toán liên quan thì cùng capsonhan điểm lại các công thức và bài tập cấp số nhân qua bài viết sau đây. Chúng ta cùng nhau vào bài học nào.

1. Cấp số nhân là gì?

1.1 Định nghĩa

Theo sách giáo khoa thì: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Đặc biệt:

• Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁, 0, 0, …, 0, …
• Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁, u₁, u₁, u₁, …, , …
• Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, …, 0, …

1.2 Số hạng tổng quát

Khi biết số hạng đầu và công bội thì ta dễ dạng tìm được số hạng tổng quát theo công thức

u_n = u₁.q^{n – 1}, với n ≥ 2

• u₁ là số hạng đầu
• q là công bội
• u_n là số hạng tổng quát

1.3 Tính chất

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

1.4 Tổng n số hạng đầu

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ +  … u_n . Khi đó

2. Các công thức cấp số nhân cần nhớ

• $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ với ∀n ≥ 1
• u_n = u₁.q_n-1, n ≥ 2.
• ${S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n}$ $\frac{{{u_1}\left( {{q^n} – 1} \right)}}{{q – 1}}$ $ = \frac{{{u_{n + 1}} – {u_1}}}{{q – 1}}$ với q ≠ 1
• $u_k^2 = {u_{k – 1}}.{u_{k + 1}}$ với k ≥ 2

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1 ( trích Bài 1 trang 60 SGK toán 11 CTST tập 1)

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?

a) \({u_n} = 3{\left( { – 2} \right)^n}\);

b) \({u_n} = {\left( { – 1} \right)^{n + 1}}{.7^n}\);

c) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3\end{array} \right.\).

Lời giải

a) Ta có: \({u_{n + 1}} = 3{\left( { – 2} \right)^{n + 1}}\)

Xét thương: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{3{{\left( { – 2} \right)}^{n + 1}}}}{{3{{\left( { – 2} \right)}^n}}} = \frac{{3{{\left( { – 2} \right)}^n}.\left( { – 2} \right)}}{{3{{\left( { – 2} \right)}^n}}} = – 2\)

Vậy dãy số là cấp số nhân có công bội \(q = – 2\).

b) Ta có: \({u_{n + 1}} = {\left( { – 1} \right)^{\left( {n + 1} \right) + 1}}{.7^{n + 1}} = {\left( { – 1} \right)^{n + 2}}{.7^{n + 1}}\)

Xét thương: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 2}}{{.7}^{n + 1}}}}{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}{{.7}^n}}} = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}.\left( { – 1} \right){{.7}^n}.7}}{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}{{.7}^n}}} = – 7\)

Vậy dãy số là cấp số nhân có công bội \(q = – 7\).

c) Ta có:

u₁ = 1;

u₂ = 2u₁ + 3 = 2.1 + 3 = 5;

u₃ = 2u₂ + 3 = 2.5 + 3 = 13

Vì \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên dãy số không là cấp số nhân.

Bài tập 2 ( trích Bài 3 trang 56 SGK toán 11 CD tập 1)

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1} = – 5\), công bội q = 2

a) Tìm \({u_9}\)

b) Số \( – 320\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân?

c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?

Lời giải

a) \({u_9} = {u_1}.{q^{9 – 1}} = \left( { – 5} \right){.2^8} = – 1280\)

b) Ta có: \( – 320 = \left( { – 5} \right){.2^{n – 1}} \Leftrightarrow {2^{n – 1}} = 64 \Leftrightarrow n = 7\)

\( – 320\) là số hạng thứ 7 của cấp số nhân

c) Ta có: \(160 = \left( { – 5} \right){.2^{n – 1}} \Leftrightarrow {2^{n – 1}} = – {2^5}\)

160 không là số hạng của cấp số nhân

Bài tập 4 ( trích Bài 1 trang 56 SGK toán 11 CD tập 1)

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) 5; –0,5; 0,05; –0,005; 0,0005

b) \( – 9;\,\,3;\,\, – 1;\,\,\frac{1}{3};\,\, – \frac{1}{9}\)

c) 2; 8; 32; 64; 256

Lời giải

a) Ta có:

–0,5:5 = –0,1

0,05:(–0,5) = –0,1

–0,005:0,05 = –0,1

0,0005:(–0,005) = –0,1

Dãy số là cấp số nhân

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}3:\left( { – 9} \right) = – \frac{1}{3}\\\left( { – 1} \right):3 = – \frac{1}{3}\\\frac{1}{3}:\left( { – 1} \right) = – \frac{1}{3}\\ – \frac{1}{9}:\left( {\frac{1}{3}} \right) = – \frac{1}{3}\end{array}\)

Dãy số là cấp số nhân

c) Ta có:

8 : 2 = 4

32 : 8 = 4

64 : 32 = 2

Dãy số không là cấp số nhân

Bài tập 5 ( trích Bài 2.10 trang 55 SGK toán 11 Cùng Khám Pha tập 1)

Tìm ba số hạng tiếp theo của các cấp số nhân sau:

a) 8, 16, 32, …;

b) 4, -2,…

Lời giải

a)

\(\begin{array}{l}{u_1} = 8;{u_2} = 16;{u_3} = 32\\ \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{16}}{8} = 2\end{array}\)

Vậy ba số hạng tiếp theo là \({u_3} = 32.2 = 64;{u_4} = 64.2 = 128;{u_5} = 128.2 = 256\).

b)

\(\begin{array}{l}{u_1} = 4;{u_2} = – 2\\ \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ – 2}}{4} = \frac{{ – 1}}{2}\end{array}\)

Vậy ba số hạng tiếp theo là ${u_3} = – 2.\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 1;$ ${u_4} = 1.\left( { – \frac{1}{2}} \right) = – \frac{1}{2};$ ${u_5} = \left( { – \frac{1}{2}} \right).\left( { – \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}$

Bài tập 6 ( trích Bài 2.11 trang 55 SGK toán 11 Cùng Khám Pha tập 1)

Một tảng băng khối lượng 1 tấn đang tan chảy. Cứ mỗi giờ, tảng băng mất đi \(\frac{1}{5}\) khối lượng của nó. Tính khối lượng còn lại của tảng băng sau 6 giờ.

Lời giải

Gọi \({u_1}\) là khối lượng tảng băng sau 1 giờ, \({u_2}\) là khối lượng tảng băng sau 2 giờ.

${ \Rightarrow {u_1} = 1 – 1.\frac{1}{5} = 0,8;}$

${{u_2} = \frac{4}{5} – \frac{4}{5}.\frac{1}{5} = 0,64}$

${ \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{0,8}}{{0,64}} = 1,25}$

Tương tự với \({u_3},{u_4},…\)Ta lập được cấp số nhân với \({u_1} = 0,8,q = 1,25\).

Vậy khối lượng còn lại của tảng băng sau 6 giờ là \({u_6} = {u_1}.{q^5} = 0,8.1,{25^5} = 0,262144\) (tấn).

Bài tập 7 ( trích Bài 4 trang 56 SGK toán 11 Cùng Khám Pha tập 1)

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3;{u_3} = \frac{{27}}{4}\)

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên

Lời giải

a) Ta có: ${u_3} = {u_1}.{q^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {\frac{{27}}{4}} \right) = 3.{q^2}$ $ \Leftrightarrow q = \frac{3}{2}$ hoặc \(q = – \frac{3}{2}\)

TH1:\(q = \frac{3}{2}\)

Năm số hạng đầu của cấp số nhân: \(3;\frac{9}{2};\frac{{27}}{4};\frac{{81}}{8};\frac{{243}}{{16}}\)

TH2: \(q = – \frac{3}{2}\)

Năm số hạng đầu của cấp số nhân: \(3; – \frac{9}{2};\frac{{27}}{4}; – \frac{{81}}{8};\frac{{243}}{{16}}\)

b) Tổng 10 số hạng đầu:

TH1: \(q = \frac{3}{2}\)

${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}}$ $ = \frac{{3\left( {1 – {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 – \frac{3}{2}}}$ $ = \frac{{3.\frac{{ – 58025}}{{1024}}}}{{1 – \frac{3}{2}}}$ $ = \frac{{ – 174075}}{{1024}}.\left( { – 2} \right)$ $ = \frac{{174075}}{{512}}$

TH2: \(q = – \frac{3}{2}\)

${S_n} = {u_1}.\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}$ $ = 3.\frac{{1 – {{\left( { – \frac{3}{2}} \right)}^{10}}}}{{1 – \left( { – \frac{3}{2}} \right)}}$ $ = – \frac{{11605}}{{512}}$

Bài tập 8 ( trích Bài 2 trang 60 SGK toán 11 CTST tập 1)

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} – {u_1} = 15\\{u_4} – {u_2} = 6\end{array} \right.\);

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} – {u_3} + {u_5} = 65\\{u_1} + {u_7} = 325\end{array} \right.\).

Lời giải

a)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_5} – {u_1} = 15}\\ {{u_4} – {u_2} = 6} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1}.{q^4} – {u_1} = 15}\\ {{u_1}.{q^3} – {u_1}.q = 6} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1}.\left( {{q^4} – 1} \right) = 15}\\ {{u_1}.\left( {{q^3} – q} \right) = 6} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1}.\left( {{q^2} – 1} \right)\left( {{q^2} + 1} \right) = 15\left( 1 \right)}\\ {{u_1}.q\left( {{q^2} – 1} \right) = 6\left( 2 \right)} \end{array}} \right.$

Do \(q = \pm 1\) không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được:

$\frac{q}{{{q^2} + 1}} = \frac{6}{{15}}$ $ \Leftrightarrow 15q = 6\left( {{q^2} + 1} \right)$ $ \Leftrightarrow 15q = 6{q^2} + 6$ $ \Leftrightarrow 6{q^2} – 15q + 6 = 0$  $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {q = \frac{1}{2}}\\ {q = 2} \end{array}} \right.$

Với \(q = \frac{1}{2}\) thế vào (2) ta được: \({u_1}.\frac{1}{2}\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} – 1} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} = – 16\).

Với \(q = 2\) thế vào (2) ta được: \({u_1}.2\left( {{2^2} – 1} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} = 1\).

Vậy có hai cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:

‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = 2\).

‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = – 16\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} – {u_3} + {u_5} = 65}\\ {{u_1} + {u_7} = 325} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} – {u_1}.{q^2} + {u_1}.{q^4} = 65}\\ {{u_1} + {u_1}.{q^6} = 325} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1}\left( {1 – {q^2} + {q^4}} \right) = 65\left( 1 \right)}\\ {{u_1}\left( {1 + {q^6}} \right) = 325\left( 2 \right)} \end{array}} \right.$

Chia vế với vế của (1) cho (2) ta được:

${\frac{{1 – {q^2} + {q^4}}}{{1 + {q^6}}} = \frac{{65}}{{325}}}$ ${ \Leftrightarrow \frac{{1 – {q^2} + {q^4}}}{{1 + {q^6}}} = \frac{1}{5}}$ ${ \Leftrightarrow 1 + {q^6} = 5\left( {1 – {q^2} + {q^4}} \right)}$ ${ \Leftrightarrow 1 + {q^6} = 5 – 5{q^2} + 5{q^4}}$ ${ \Leftrightarrow {q^6} – 5{q^4} + 5{q^2} – 4 = 0}$

Đặt \({q^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\). Khi đó phương trình có dạng:

${t^3} – 5{t^2} + 5t – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow t = 4$ $ \Leftrightarrow {q^2} = 4$ $ \Leftrightarrow q = \pm 2$

Với \(q = – 2\) thế vào (2) ta được: \({u_1}\left( {1 + {{\left( { – 2} \right)}^6}} \right) = 325 \Leftrightarrow {u_1} = 5\).

Với \(q = 2\) thế vào (2) ta được: \({u_1}\left( {1 + {2^6}} \right) = 325 \Leftrightarrow {u_1} = 5\).

Vậy có hai cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:

‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 5\) và công bội \(q = 2\).

‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 5\) và công bội \(q = – 2\).

Bài tập 9 ( trích Bài 5 trang 60 SGK toán 11 CTST tập 1)

Tính các tổng sau:

a) \({S_n} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + … + \frac{1}{{{3^n}}}\);

b) \({S_n} = 9 + 99 + 999 + … + \underbrace {99…9}_{n\,\,chu\,\,so\,\,9}\)

Lời giải

a) Tổng \({S_n}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\) nên ta có:

${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}}$ $ = \frac{{1\left( {1 – {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{1 – \frac{1}{3}}}$ $ = \frac{{1 – {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{\frac{2}{3}}}$ $ = \frac{3}{2}\left( {1 – \frac{1}{{{3^n}}}} \right)$ $ = \frac{3}{2} – \frac{1}{{{{2.3}^{n – 1}}}}$

b) Ta có:

Tổng \(10 + 100 + 1000 + … + \underbrace {100…0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 10\) và công bội \(q = 10\) nên ta có:

$10 + 100 + 1000 + …$ $ = \frac{{10\left( {1 – {{10}^n}} \right)}}{{1 – 10}}$ $ = \frac{{10 – {{10}^{n + 1}}}}{{ – 9}}$ $ = \frac{{{{10}^{n + 1}} – 10}}{9}$

Vậy \({S_n} = \frac{{{{10}^{n + 1}} – 10}}{9} – n = \frac{{{{10}^{n + 1}} – 10 – 9n}}{9}\)